aguila43的部落格

這原本就是 Σ a_n x^n 的冪級數形式.

微積分教本冪級數章節的基本定理:
冪級數 Σ a_n x^n 若在一點 x=c 收斂, 則
對於任意 x 滿足 |x|<|c|, 級數 Σ a_n x^n
收斂. 也就是說: 收斂半徑至少是 |c|.

又: 上列級數若在一點 x=d 發散, 則對任
意 x 滿足 |x|>|d|, 級數 Σ a_n x^n 發散.
也就是說, 收斂半徑不大於 |d|.

至於在 x=-c 或 x=-d, 以及 |c|<|x|<|d| 的
所有 x 點, 無法直接根據所給資訊得知
Σ a_n x^n 是收斂或發散.


若不把所給級數看成是中心 0 的冪級數
Σ a_n x^n, 而看成中心 a 的冪級數是否
可行?

Σ a_n 4^n = Σ a_n(5-a)^n 收斂, 故
Σ a_n(x-a)^n 當 -4<x-a<4 時收斂.
這與 "Σ a_n x^n 當 -4<x<4 時收斂"
並無差別, 用來判斷選項中各級數是否收
斂, 效果也完全一樣.

就 Σ a_n (-5)^n 發散這條件及其引出的結
論而言, 也是一樣.


因此, 不假設中心是 0 而硬設其他收斂中
心, 只是徒增式子的複雜度, 並沒必要.

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